พฤหัสบดี วันครู อ่านหนังสือ compton scattering

พฤหัสบดี ถือว่าเป็น วันครู เหมาะแก่การอ่านหนังสือ หรือ ทบทวนความรู้

คนรวยนา คือมีนา หรือ มานี เอาปัญหามาให้แก้ เรื่อง compton scattering ก็สนุกดี ได้ทบทวนจริงๆดั่งใจ ก็นับว่าทำบุญเอาไว้เยอะพอควรจึ่งยังผลให้ ปราถนาสิ่งใด ก็ได้สิ่งนั้น

จะค่อยๆนำมาลงในนี้แหละ ตรงนี้แหละ สูตรมันเยอะ เขียนสนุกมาก สัญญลักษณ์น่ะ เขียนได้สนุกดี

ปัญหาที่ได้มาคือให้ derived สูตรของ compton scattering ก็ให้งงง จะมาทดสอบอะไรกันอีก เน้อะ แต่เอาเถอะ สอบก็สอบ ทดก็ทด เบื้องต้นให้ดูรูปกันก่อน วาดเองด้วย xfig

ท่านว่า photon ที่มี momentum p₁ วิ่งซุ่มซ่ามเข้าไปชนยัยเล็ก เอ้ย อีเล็กตรอนที่นิ่งๆนอนๆอยู่บนเตียง อีเล็กตรอนมีมวลนิ่ง m₀ เนื่องจากอยู่นิ่ง momentum ของอีเล็กตรอนจึงเป๋น 0 ผลสุดท้าย ทั้ง photon ก็กระเจิงไปอิกทิศทางด้วย momentum p₂ และอีกเล็กตรอนนั้น ก็กระเด็นออกจากเตียงไปด้วย momentum p_e

มุมของ photon ที่เบี้ยวบิดไปจากเดิมคือ θ จากหลักการทรงโมเมนตัม momentum conservation principles ทำให้ได้

p₁ + 0 = p₂ + p_e

ซึ่งปริมาณเวคเตอร์ เมื่อแทนด้วยรูป ก็จะเป็นดังรูปล่าง ส่วนรูปบนนั้น เป็นรูปที่แทนจินตนาการของอันตรกิริยาของโฟตอน และ อีเล็กตรอน เขา ดูๆเอาน่ะ จากหลักการทรงไว้ซึ่งโมเมนตัม เราย้ายข้างเล็กน้อย ดังนี้

p_e = p₁ − p₂

นี่แหละ รูปร่างของโมเมนตัมของอีเล็กตรอน
ส่วนขนาดของโมเมนตัม ก็หาได้จาก dot product ของเวคเตอร์ p_e และได้ขนาดดังนี้

p_e⋅p_e = |(p₁ − p₂) ⋅ (p₁ − p₂)|

ซึ่งเมื่อถอดออกมาเป็นปริมาณสการ์ลาแล้ว ก็ได้ตามนี้แหละ

p_e² = p₁² + p₂² − 2p₁p₂cos(θ)

ทีนี้ เรามามองในมุมของพลังงานมั่ง ก็บอกได้จากหลักการทรงพลังงานคือ

พลังงานก่อนชน = พลังงานหลังชน

พลังงานก่อนชน เรามาดูว่ามีอะไรบ้าง ซึ่งจากโฟตอนที่มีโมเมนตัม p₁ ก็มีค่าเท่ากับ p₁c และยัยเล็กที่นอนนิ่งๆบนเตียง ก็เท่ากับ m₀c² ขอเขียนเป็น E₀ ไปก่อน
พลังงานหลังชน ก็มาจากของอีเล็กตรอนที่กระเจิงไป กับ โฟตอน ที่บิดเบี้ยวไปอีกทิศทางนั้น พลังงานของอีเล็กตรอนตอนนี้ก็มีค่าเท่ากับ (E₀² + p_e²c²)^½ ส่วนโฟตอนก็มีค่าเท่ากับ p₂c, เมื่อ c คือความเร็วแสงซึ่ง คงที่
เราจับสองส่วนมาเท่ากัน แล้วย้ายข้างเอาเทอม p₂ มาไว้ทางซ้ายมือ และดึงตัวร่วมคือ ความเร็วแสงออกมา สมการตอนนี้ก็ลดรูปได้ดังนี้, จากเงื่อนไขหลักการทรงไว้ซึ่งพลังงาน

p₁c + E₀ = p₂c + (E₀² + p_e²c²)^½
(p₁ − p₂)c + E₀ = (E₀² + p_e²c²)^½

ซึ่งเมื่อยกกำลังสองทั้งสองข้างแล้ว ผลลัพธ์ที่น่าสนใจก็คือ

(p₁ − p₂)²c² + E₀² +2cE₀(p₁ − p₂) = E₀² + p_e²c²

เราทอนเทอมที่เหมือนกันทั้งสองข้างทิ้งไป, หารตลอดด้วย c², และแทนค่าของ p_e² จากข้างบนนั้น ที่สุดเราพอจะได้สมการที่ดูแล้วยัง อื้ดลื้ดอ้าดลาดอยู่ แม้จะกระจายเทอมด้านซ้ายมือออกไปในบรรทัดที่สามข้างล่างนี้แล้ว ก็ยังดูมอมแมมอยู่ดี ดังนี้

(p₁ − p₂)² + {(2E₀)÷c}(p₁ − p₂) = p_e²
(p₁ − p₂)² + {(2E₀)÷c}(p₁ − p₂) = p₁² + p₂² − 2p₁p₂cos(θ)
p₁² + p₂² − 2p₁p₂ + {(2E₀)÷c}(p₁ − p₂) = p₁² + p₂² − 2p₁p₂cos(θ)

จากบรรทัดบนนี้ เมื่อทอนเทอมที่เท่ากันออก ย้ายข้างเอาผลคูณของโมเมนตัมไปทางขวาในบรรทัดแรก และดึงตัวร่วมออกมาอีกหนในบรรทัดสอง และจัดรูปอีกเล็กน้อย ในบรรทัดที่สาม

{(2E₀)÷c}(p₁ − p₂) = 2p₁p₂ − 2p₁p₂cos(θ)
{(2E₀)÷c}(p₁ − p₂) = 2p₁p₂(1 − cos(θ))
(p₁ − p₂) ÷ (p₁p₂) = (1 − cos(θ))(c÷E₀)

บรรทัดสุดท้ายข้างบนนั้น จัดเทอมใหม่อีกรอบ ก็จะได้รูปที่พอเข้าเค้าบ้าง เมื่อแทนค่า E₀ = m₀c² แล้วคูณตลอดด้วย plank constant, h

(h/p₂ − h/p₁) = (1 − cos(θ))(h÷(m₀c))

แต่เราทราบว่า h/p คือ λ ดังนั้นสมการข้างบนจึงลดรูปลงง่ายๆเป็น, เมื่อแทน κ = h÷(m₀c), แล้วย้ายข้าง และแทน λ = c÷ν, ในลำดับถัดมา และในบรรทัดสุดท้าย เราแยกตัวประกอบโดย ดึงตัวร่วมออกมา ก็เท่านั้นเอง

λ′ = λ + κ(1 − cos(θ))
c÷ν′ = c÷ν + κ(1 − cos(θ))
(c÷ν′) = (c÷ν){1 + (νκ÷c)(1 − cos(θ))}

อ้อ มะไฟ แทน subscript 2 ด้วย prime state, ก่อนชน และ subscript 1 ด้วย state ปกติ, หลังชน, ทีนี้ค่า νκ÷c นั้นก็คือ hν÷(m₀c²) ซึ่งขอแทนด้วย γ ไปก่อน เราจัดเทอมใหม่อีกรอบน่ะ ค่อยๆดูน่ะ

ν÷ν′ = {1 + γ(1 − cos(θ))}
ν = ν′ {1 + γ(1 − cos(θ))}
ν′ {1 + γ(1 − cos(θ))} = ν
ν′ = ν÷{1 + γ(1 − cos(θ))}

หรือเมื่อคูณตลอดด้วย plank constant, h ทั้งสองข้างแล้ว

hν′ = hν÷{1 + γ(1 − cos(θ))}

ซึ่งเมื่อแทนค่าของ γ ลงไปแล้ว ก็ ชัดเลย

ซ.ต.พ.